On the finiteness of P-adic continued fractions for number fields

For a prime ideal P of the ring of integers of a number field K, we give a general definition of a P-adic continued fraction, which also includes classical definitions of continued fractions in the field of p-adic numbers. We give some necessary and sufficient conditions on K ensuring that for all but finitely many P, every α ∈ K admits a finite P-adic continued fraction expansion, addressing a similar problem posed by Rosen in the archimedean setting. Résumé (Sur la finitude des fractions continues P-adiques pour les corps de nombres). — Soit P un idéal premier de l’anneau des entiers d’un corps de nombres K. On donne une définition générale de fraction continue P-adique qui inclut les définitions classiques de fractions continues p-adiques. On présente des conditions nécessaires et suffisantes sur K qui assurent que pour tous idéaux P sauf un nombre fini, chaque élément α ∈ K ait une expansion finie en fraction continue P -adique. Ces résultats abordent dans le contexte p-adique un problème qui avait été posé par Rosen dans le cas archimédien.