Some questions regarding groups of automorphisms of primary trees

I gruppi che agiscono su alberi p-adici sono stati ampiamente studiati negli ultimi decenni poiché rappresentano una fonte di esempi con interessanti proprietà nella teoria dei gruppi. All'interno di questa classe di gruppi si possono trovare esempi di gruppi con crescita intermedia o controesempi al Problema Generale di Burnside. In questa tesi analizzeremo alcune proprietà riguardanti le strutture di due famiglie di gruppi che agiscono su alberi regolari di grado pari ad una potenza di un primo. Queste due famiglie sono i gruppi GGS che agiscono sull'albero p^n-adico e i gruppi p-Basilica, una generalizzazione del gruppo Basilica agli alberi p-adici dove p è un primo. Un gruppo GGS sull'albero p^n-adico è definito da un vettore e con p^n-1 componenti in Z/p^nZ. A seconda del vettore che definisce il gruppo GGS, determiniamo quali di essi sono branch. Abbiamo ridotto il nostro studio ai gruppi GGS frattali, poiché quelli non frattali non possono essere branch per definizione. Abbiamo dimostrato che tutti, eccetto i GGS che agiscono sull'albero 2^n-adico la cui unica componente invertibile nel vettore di definizione è in posizione 2^{n-1}, sono debolmente branch regolari. I gruppi GGS con vettore costante sono debolmente branch regolari ma non branch. Per gli altri gruppi GGS, abbiamo dimostrato che sono tutti branch regolari con qualche piccola eccezione per le quali il problema è ancora aperto. I gruppi p-Basilica sono debolmente branch regolari ma non branch per ogni primo p, e rappresentano il primo esempio di gruppi super fortemente frattali con questa proprietà. Questa classe di gruppi è anche il primo esempio di gruppi debolmente branch con la p-proprietà del sottogruppo di congruenza ma senza la proprietà del sottogruppo di congruenza e senza la proprietà debole del sottogruppo di congruenza. Inoltre il calcolo degli ordini dei quozienti di congruenza di questi gruppi ci permettono di determinare la dimensione di Hausdorff dei gruppi p-Basilica. Infine, mostriamo che i gruppi p-Basilica non possiedono sottogruppi massimali di indice infinito e che hanno infiniti sottogruppi massimali non normali.

Groups acting on p-adic trees have been well studied over the past decades since they represent a source of examples with interesting properties in group theory. Groups with intermediate growth or counterexamples to the General Burnside Problem can be found inside this class of groups. In this thesis we analyze some properties concerning the structures of two families of groups acting over primary regular rooted trees, i.e. regular rooted trees such that every vertex has a number of descendants equal to a power of a prime. These two families are the GGS-groups acting over the p^n-adic tree and the p-Basilica groups, a generalization of the Basilica group over the p-adic tree for a prime p. A GGS-group over the p^n-adic tree is defined by a vector e whose components are elements in Z/p^nZ. Depending on the defining vector of the GGS-group, we determine which of them are branch. We reduce our study to the fractal GGS-groups, since the non-fractal ones cannot be branch. We prove that all of them, except the ones acting over the 2^n-adic tree whose defining vectors have only one invertible component in position 2^{n-1}, are weakly regular branch. The GGS-groups with constant defining vector are weakly regular branch but not branch. For the other GGS-groups, we prove that they are all regular branch with some small exceptions for which the question is still open. The p-Basilica groups are weakly branch but not branch for any prime p. These provide the first examples of groups with these properties that are super strongly fractal. For this class of groups we also study other problems. We show that they have the p-congruence subgroup property but not the congruence subgroup property nor the weak congruence subgroup property, providing the first examples of weakly branch groups with such properties. We compute the orders of the congruence quotients of these groups, which enables us to determine the Hausdorff dimensions of the p-Basilica groups. Lastly, we show that the p-Basilica groups do not possess maximal subgroups of infinite index and that they have infinitely many non-normal maximal subgroups.