Elliptic Loops

Data una curva ellittica E su Fp ed un intero e ≥ 1, definiamo un nuovo oggetto, chiamato "loop ellittico", come l'insieme dei punti nel piano proiettivo su Z/p^e Z che stanno sopra ad E, dotato di una operazione ereditata dalla somma di punti sulla curva. Questo oggetto si prova essere un loop algebrico con associatività delle potenze. Le sue sotto-strutture sono investigate utilizzando altre cubiche definite sullo stesso anello, che abbiamo chiamato "curva ombra" e "strati". Quando E ha traccia 1, un comportamento speciale viene notato e sfruttato per produrre un attacco di isomorfismo al problema del logaritmo discreto su questa famiglia di curve. Migliori proprietà vengono trovate per bassi valori di e, che portano ad una descrizione esplicita della parte all'infinito e alla caratterizzazione della geometria dei punti razionali di |E|-torsione.

Given an elliptic curve E over Fp and an integer e ≥ 1, we define a new object, called “elliptic loop”, as the set of plane projective points over Z/p^e Z lying over E, endowed with an operation inherited by the curve addition. This object is proved to be a power-associative abelian algebraic loop. Its substructures are investigated by means of other algebraic cubics defined over the same ring, which we named “shadow curve” and “layers”. When E has trace 1, a distinctive behavior is detected and employed for producing an isomorphism attack to the discrete logarithm on this family of curves. Stronger properties are derived for small values of e, which lead to an explicit description of the infinity part and to characterizing the geometry of rational |E|-torsion points.